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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 2 m und die Höhe h = 10 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 22 m² ≈ 12,57 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 12.57 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 12.57 m² ⋅ 10 m ≈ 125,66 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅2 m ≈ 12.57 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 12.57 m² + 10 m ⋅ 2π ⋅ 2 m
≈ 25.13 m² + 10 m ⋅ 12.57 m
≈ 25.13 m² + 125.66 m²
≈ 150,8 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 38707.6 cm³ = und den Radius r = 37 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 37 2 · h = 38707.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

4301,398h = 38707,6

4301,398h = 38707,6 |:4301,398
h = 8,9988

Wir erhalten also h = 9 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅37 cm ≈ 232.48 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 9 cm ⋅ 2π ⋅ 37 cm
≈ 9 cm ⋅ 232.48 cm
≈ 2092,3 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 28952.9 cm³ = und den Radius r = 48 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 48 2 · h = 28952.9

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

7239,168h = 28952,9

7239,168h = 28952,9 |:7239,168
h = 3,9995

Wir erhalten also h = 4 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 482 cm² ≈ 7238,23 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 4 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅48 cm ≈ 301.59 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 7238.23 cm² + 4 cm ⋅ 2π ⋅ 48 cm
≈ 14476.46 cm² + 4 cm ⋅ 301.59 cm
≈ 14476.46 cm² + 1206.37 cm²
≈ 15682,83 cm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 6 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 15 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,22 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 15 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7.5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0.22 cm ist, muss also der innere Radius rin = 7.28 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (7.5 cm)2 - 1 2 π (7.28 cm)2
= 88.357 cm2 - 83.25 cm2
= 5.107 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 600 cm:

V = 5.107 cm2 ⋅ 600 cm = 3065 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 3065 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 24520 g = 24.52 kg.