Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+1$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^x$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → ∞ : f(x) gegen +∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4-8x^2-9$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $9$

u₂: $x^2$ = $-1$

L={ $-3$; $3$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2-8u-9$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4-8x^2-9$ =nach Substitution $u^2-8u-9$ = $\left(u-9\right)·\left(u+1\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-9\right)·\left(\mathrm{x²}+1\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)·\left(x-3\right)·\left(x^2+1\right)$ = $x^4-8x^2-9$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $15+14e^{-\mathrm{0,5}t}$ → $15+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $15$.

2. Erster t-Wert bei y = 19

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=19 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 19 und lösen nach t auf:

   $15+14e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $19$

   $14e^{-\mathrm{0,5}t}+15$	=	$19$	| $-15$
   $14e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$4$	|:$14$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{2}{7}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{2}{7}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,5}}\ln \left(\frac{2}{7}\right)$	≈ 2.5055

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 19 annimmt, ist also nach 2.51 Tage.

3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(15+14e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(15+14e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$

   = ${\left[15x-28e^{-\mathrm{0,5}x}\right]}_0^3$

   $=$ $15\cdot 3-28e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}-\left(15\cdot 0-28e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}\right)$

   = $45-28e^{-\mathrm{1,5}}-\left(0-28e^0\right)$

   = $-28e^{-\mathrm{1,5}}+45-\left(0-28\right)$

   = $-28e^{-\mathrm{1,5}}+45+28$

   = $-28e^{-\mathrm{1,5}}+73$

   
   ≈ 66,752

   66.75 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.