Wir können insgesamt 9 Quadrate erkennen.

Davon sind 2 eingefärbt.

Es sind also 2 von 9 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{2}{9}$

1 g sind ja 1000 mg.

Also sind ein $\frac{1}{\mathrm{500}}$ g doch gerade 1000 mg : 500 = 2 mg.

Somit sind ein $\frac{3}{500}$ g das gleiche wie 2 mg ⋅ 3 = 6 mg.

Ein $\frac{1}{3}$ von 18 Birnen sind 18 : 3 = 6 Birnen.

Zuerst rechnen wir 1g in 1000 mg um.

Ein $\frac{1}{5}$ von 1000 mg sind 1000 mg : 5 = 200 mg.

Zuerst rechnen wir 1min in 60 s um.

Ein $\frac{1}{10}$ von 60 s sind 60 s : 10 = 6 s.

$\frac{3}{10}$ von 60 s sind also 3 ⋅ 6 s = 18 s.

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 5:

$\frac{4}{3}$ = $\frac{\mathrm{4\; \cdot \; 5}}{\mathrm{3\; \cdot \; 5}}$ = $\frac{20}{15}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (32) und Nenner (40) sind:

$\frac{32}{40}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{16}{20}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{8}{10}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{4}{5}$

$\frac{32}{40}$ = $\frac{4}{5}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 8 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 3 nachher der neue Nenner 24 wird.

Wir müssen also mit 24 : 3 = 8 erweitern.

$\frac{4}{3}$ = $\frac{\mathrm{4\; \cdot \; 8}}{\mathrm{3\; \cdot \; 8}}$ = $\frac{32}{24}$

Um einen Bruch als Prozentzahl anzugeben, müssen wir den Nenner des Bruchs durch Erweitern auf 100 bringen:

$\frac{1}{2}$ = $\frac{\mathrm{50}}{\mathrm{100}}$ = 50%

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und 0 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 3 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{3}$ hat.

Das die Markierung auf dem 1-ten Strichchen liegt, muss im Zähler des gesuchten Bruchs die Zahl 1 stehen.

Da die Markierung links von der 0 liegt, braucht der Bruch noch ein negatives Vorzeichen.

Der gesuchte Bruch ist also: $-\frac{1}{3}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 2 und 3 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 5 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{5}$ hat.

Da die Markierung auf dem 3-ten Strichchen zwischen 2 und 3 liegt, muss der gemischte Bruch $2\frac{3}{5}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $2\frac{3}{5}$ = $\frac{10}{5}$ $+\frac{3}{5}$ = $\frac{13}{5}$

Vergleich von $\frac{1}{3}$ und $0$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$0$ = $\frac{0}{3}$

Also gilt: $\frac{1}{3}$ > $\frac{0}{3}$ = $0$.

Vergleich von $\frac{32}{17}$ und $\frac{33}{17}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 17 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 17 teilt). Es gilt hier also $\frac{32}{17}$ < $\frac{33}{17}$

Vergleich von $\frac{9}{11}$ und $\frac{9}{10}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{9}{11}$ < $\frac{9}{10}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 20 und 21.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{20}{17}$ = $\frac{40}{34}$ und $\frac{21}{17}$ = $\frac{42}{34}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 40 und 42, nämlich 41, somit ist also $\frac{\mathrm{41}}{\mathrm{34}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{20}{17}$ = $\frac{40}{34}$ und $\frac{21}{17}$ = $\frac{42}{34}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 1 und 2.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{6}$ und $\frac{2}{3}$ = $\frac{4}{6}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 2 und 4, nämlich 3, somit ist also $\frac{3}{6}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{6}$ und $\frac{2}{3}$ = $\frac{4}{6}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$2\frac{5}{7}$

$\frac{11}{3}$ = $\frac{\mathrm{9\; +\; 2}}{3}$ = $\frac{9}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $3$ + $\frac{2}{3}$ = $3\frac{2}{3}$

$\frac{17}{5}$ = $\frac{\mathrm{15\; +\; 2}}{5}$ = $\frac{15}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $3$ + $\frac{2}{5}$ = $3\frac{2}{5}$

Jetzt sieht man sofort, dass $2\frac{5}{7}$ die kleinste Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $3\frac{2}{5}$ oder $3\frac{2}{3}$ größer ist.
Da ja beide die 3 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{2}{5}$ und $\frac{2}{3}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 2 im Zähler haben, muss $\frac{2}{5}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 2 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{2}{3}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$2\frac{5}{7}$ < $3\frac{2}{5}$ < $3\frac{2}{3}$ , also

$2\frac{5}{7}$ < $\frac{17}{5}$ < $\frac{11}{3}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

23 = 20 + 3 = 2⋅10 + 3

also gilt:

$\frac{23}{10}$ = $\frac{\mathrm{2\cdot 10\; +\; 3}}{\mathrm{10}}$ = $\frac{\mathrm{2\cdot 10}}{\mathrm{10}}$ + $\frac{3}{\mathrm{10}}$ = 2 + $\frac{3}{\mathrm{10}}$

Somit gilt: $\frac{23}{10}$ = $2\frac{3}{10}$