$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(3x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(3x-3\right)·\left(3+0\right)$

= $-2\cdot \cos \left(3x-3\right)·\left(3\right)$

= $-6\cdot \cos \left(3x-3\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{2x+4}$

= $-3{\left(2x+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{\left(2x+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\cdot \sqrt{2x+4}}·\left(2+0\right)$

= $-\frac{3}{2\cdot \sqrt{2x+4}}·\left(2\right)$

= $-\frac{3}{\sqrt{2x+4}}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{-x^2-1}$

= $-3{\left(-x^2-1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{\left(-x^2-1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-2x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\sqrt{-x^2-1}}·\left(-2x+0\right)$

= $-\frac{3}{2\sqrt{-x^2-1}}·\left(-2x\right)$

= $3\frac{x}{\sqrt{-x^2-1}}$

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -3 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-3) = 0.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(3)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|3) und Q₂(3|3), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 3

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($0$) = $-\frac{7}{2}$.

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 3 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(3) = -3.

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\cos \left(x\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\cos \left(x\right)+x^{\frac{1}{2}}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\cos \left(x\right)+\sqrt{x}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x\right)}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+5\right)·\sin \left(4x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(4x+5\right)+\left(3x+5\right)·\cos \left(4x+5\right)·\left(4+0\right)$

= $3\cdot \sin \left(4x+5\right)+\left(3x+5\right)·\cos \left(4x+5\right)·\left(4\right)$

= $3\cdot \sin \left(4x+5\right)+\left(3x+5\right)·4\cdot \cos \left(4x+5\right)$

= $3\cdot \sin \left(4x+5\right)+4\left(3x+5\right)·\cos \left(4x+5\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+5\right)·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(2x\right)+\left(x^2+5\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $2x·\sin \left(2x\right)+\left(x^2+5\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $2x·\sin \left(2x\right)+2\left(x^2+5\right)·\cos \left(2x\right)$

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-4$)⋅g(x) + ( $x^2-4x-12$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-1) = g'(-1) = 0.

Somit ist bei x = -1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = f'(-1)⋅0 + f(-1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.