$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(-5x+5\right)+5x$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(-5x+5\right)·\left(-5+0\right)+5$

= $2\cdot \cos \left(-5x+5\right)·\left(-5\right)+5$

= $-10\cdot \cos \left(-5x+5\right)+5$

$\text{f(x)}=$ $4x·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·1·\cos \left(x\right)+4x·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $4\cdot \cos \left(x\right)-4x·\sin \left(x\right)$

= ${\left[-\cos \left(3x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-\cos \left(3\cdot \pi \right)+\cos \left(3\cdot \left(0\right)\right)$

= $-\left(-1\right)+1$

= $1+1$

= $2$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{4}\pi +\pi$ = $\frac{7}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -3, also bei y=-6.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{4}\pi$|-6) und einen bei ( $\frac{7}{4}\pi$|-6)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|1) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \cos \left(\frac{2}{3}\left(x+0\right)\right)+1$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $0$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $-3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-3$|4).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-3$|0) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x+3\right)\right)+2$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-3$ + $3\pi$ ≈ $\mathrm{6,425}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $12\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{6,425}+6\pi$ ≈ 25.275 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 2, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\mathrm{6,425}$|4) und bei (25.275|4)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.2661036727795

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{3}x\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,266}$
bzw. bei - $\mathrm{1,266}$+2π= $\mathrm{5,017}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{3,798}$; $\mathrm{15,051}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $6\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{3,798}$ und x₂ = $\mathrm{15,051}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 10 h = 28 h. Weil aber 28 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 28 - 24 = 4 h. Die Lösung ist also: 4 Uhr.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 18.6

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 18.6 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 18.6 gleich:

   $8\cdot \sin \left(\frac{1}{12}\pi \left(t-10\right)\right)+17$ = 18.6

   $8\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)+17$ = $\mathrm{18,6}$ | $-17$

   $8\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)$

   =

   $\mathrm{1,6}$

   |:$8$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)$

   =

   $\mathrm{0,2}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.20135792079033

   1. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,618}$	=	$\mathrm{0,201}$	| $+\mathrm{2,618}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{2,819}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x1	=	$\mathrm{10,7678}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,201}$= $\mathrm{2,94}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,618}$	=	$\mathrm{2,94}$	| $+\mathrm{2,618}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{5,558}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x2	=	$\mathrm{21,2299}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 h nach oben und erreicht erstmals nach 10.77 h den Wert 18.6. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 21.23 h zum zweiten mal den Wert 18.6 erreicht. Während dieser 21.23 - 10.77 = 10.46 h ist der Wert der Funktion also höher als 18.6.