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Hypothenuse bestimmen (mit Pyth.)

Beispiel:

Berechne die Länge der Hypotenuse.

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

4² + 3² = c²

16 + 9 = c²

25 = c² | $\sqrt[]{\cdot}$

5 = c

Die gesuchte Länge ist somit c = 5 m.

Pythagoras mit ganzen Zahlen

Beispiel:

Berechne die fehlende Länge im abgebildeten rechtwinkligen Dreieck.

Lösung einblenden

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

16² + 12² = c²

256 + 144 = c²

400 = c² | $\sqrt[]{\cdot}$

20 = c

Pythagoras mit reellen Zahlen

Beispiel:

Berechne die fehlende Länge im abgebildeten rechtwinkligen Dreieck.

Lösung einblenden

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

77² + a² = 86²

5929 + a² = 7396 | - 5929

a² = 1467 | $\sqrt[]{\cdot}$

a ≈ 38.3

Pythagoras (ohne Skizze)

Beispiel:

In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Länge einer Kathete b = 66 mm und die Länge der Hypotenuse a = 67 mm gegeben. Berechne die Länge der anderen Kathete.

Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

Lösung einblenden

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

66² + c² = 67²

4356 + c² = 4489 | - 4356

c² = 133 | $\sqrt[]{\cdot}$

c ≈ 11.53

Quadrate über rechtwinkl. Dreieck

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt der roten Fläche A.

Lösung einblenden

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

A + 3² = 25

A + 9 = 25 | - 9

A = 16

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = 16 mm².

Flächeninhalt eines rechtwinkl. Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des abgebildeten rechtwinkligen Dreiecks.

Lösung einblenden

Als erstes berechnen wir die Länge der anderen Kathete:

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

9² + b² = 15²

81 + b² = 225 | - 81

b² = 144 | $\sqrt[]{\cdot}$

b = 12

Da im rechtwinkligen Dreieck ja immer die eine Kathete gleichzeitig die Höhe auf der andere Kathete ist, kann man den Flächeninhalt ganz einfach berechnen als:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 12 m ⋅ 9 m

also A = 54 m²

Pythagoras im Rechteck und Dreieck

Beispiel:

Berechne die fehlende Länge b im abgebildeten Rechteck.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Im vorliegenden Rechteck sind teilt die rote Diagonale das Rechteck in zwei (kongruente) Dreiecke. In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke b berechnen.

10² + b² = 11²

100 + b² = 121 | - 100

b² = 21 | $\sqrt[]{\cdot}$

b = $\sqrt{21}$ ≈ 4.58

Die gesuchte Länge ist somit b ≈ 4.58 m.

Pyth. im Rechteck und Dreieck (ohne Skizze)

Beispiel:

In einem Rechteck sind die beiden Seitenlängen mit a=9 m und b=12 m gegeben. Berechne die Länge der Diagonalen des Rechtecks.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Lösung einblenden

Im vorliegenden Rechteck sind teilt die rote Diagonale das Rechteck in zwei (kongruente) Dreiecke. In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke d berechnen.

9² + 12² = d²

81 + 144 = d²

225 = d² | $\sqrt[]{\cdot}$

d = $\sqrt{225}$ ≈ 15

Die gesuchte Länge ist somit d ≈ 15 m.

Pythagoras rückwärts

Beispiel:

Gegeben ist ein Quadrat mit der Diagonalenlänge d=11 cm Berechne den Umfang dieses Quadrats.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras können wir die Länge der Diagonalen eines Quadrats in Abhängigkeit von der Kantenlänge a ausdrücken. Dabei gilt:

a² + a² = d²

2a² = d² | $\sqrt[]{\cdot}$

also gilt d= $\sqrt{2a²}$ = $\sqrt{2}$ ⋅ a

oder eben a = $\frac{d}{\sqrt{2}}$

Somit gilt in unserem Fall: a = $\frac{11}{\sqrt{2}}$ ≈ 7.778

Für den Umfang gilt dann: U = 4 ⋅ a ≈ 4 ⋅ 7.778 cm ≈ 31.11 cm

Pythagoras rückwärts (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist ein Rechteck mit der Diagonalenlänge d=37 m und dem Umfang 94 m.

Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.

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Wenn wir die beiden Seitenlängen des Rechtecks a und b nennen, gilt für den Umfang:

I: U=2⋅a + 2⋅b

Außerdem können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der Diagonalen eines Rechtecks in Abhängigkeit von a und b ausdrücken. Dabei gilt:

II: a² + b² = d²

Konkret in dieser Aufgabe bedeutet das:

I: 94=2⋅a + 2⋅b | :2

II: a² + b² = 37²

vereinfacht

I: 47=a + b

II: a² + b² = 1369

Wenn wir nun die erste Gleichung nach b auflösen erhalten wir

I: b = 47 - a

II: a² + b² = 1369

Jetzt setzen wir das b in Gleichung I in die Gleichung II ein:

II: a² + (47 - a)² = 1369

Durch Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel erhalten wir:

$a^{2} + a^{2} - 94 a + 2 209$	=	$1 369$
$2 a^{2} - 94 a + 2 209$	=	$1 369$	\| $- 1 369$

2 a^{2} - 94 a + 840

= 0 |:2

$a^{2} - 47 a + 420$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

a_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 420}}{2 \cdot 1}$

a_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 - 1 680}}{2}$

a_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{529}}{2}$

a₁ = $\frac{47 + \sqrt{529}}{2}$ = $\frac{47+23}{2}$ = $\frac{70}{2}$ = $35$

a₂ = $\frac{47 - \sqrt{529}}{2}$ = $\frac{47-23}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

Man kann erkennen, dass die Summe der beiden Lösungen gerade wieder den halben Umfang ergibt (vergleiche Gleichung I oben)

(I) 47 = 35 + 12

Das bedeutet, dass die beiden Lösungen gerade die beiden gesuchten Seitenlängen des Rechtecks sind.

Jetzt ist der Flächeninhalt des Rechtecks leicht zu berechnnen:

A = a ⋅ b = 35 m ⋅ 12 m = 420 m²

Abstand zweier Punkte

Beispiel:

Berechne den Abstand der beiden Punkte A(5|1) und B(4|-4) im Koordinatensystem.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Lösung einblenden

Wie man in der Skizze rechts gut erkennen kann, lässt sich der Abstand zwischen zwei Punkten als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

Dabei ist die Länge der waagrechten Kathete gerade die Differenz der x-Werte der beiden Punkte:
dx = 5 - 4 = 1

Und die Länge der senkrechten Kathete ist die Differenz der y-Werte der beiden Punkte:
dy = 1 - ( - 4 ) = 5

Jetzt können wir den Satz des Pythagoras anwenden:

d² = 1² + 5²

d² = 1 + 25

d² = 26

d = $\sqrt{26}$ ≈ 5.1

Für den Abstand der beiden Punkte gilt also: d ≈ 5.1

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Haus hat eine Gesamthöhe von 13m. Die (fünfeckigen) Stirnseiten sind 12m breit. Die rechteckigen Seitenflächen sind 7m lang und vom Boden bis zur Dachkante 9m hoch. Berechne die Fläche des Hausdachs.

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Es gilt:

4² + 6² =h²

16 +36 = h²

52 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

7.21 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 7m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 50.48m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 100.96m²

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hypothenuse bestimmen (mit Pyth.)

Pythagoras mit ganzen Zahlen

Pythagoras mit reellen Zahlen

Pythagoras (ohne Skizze)

Quadrate über rechtwinkl. Dreieck

Flächeninhalt eines rechtwinkl. Dreiecks

Pythagoras im Rechteck und Dreieck

Pyth. im Rechteck und Dreieck (ohne Skizze)

Pythagoras rückwärts

Pythagoras rückwärts (schwer)

Abstand zweier Punkte

Anwendungen Pythagoras