Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-9x^2+25x-19$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-18x+25+0$

= $3x^2-18x+25$

$\text{f''(x)}=$ $6x-18+0$

= $6x-18$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-18$	=	0	| $+18$
$6x$	=	$18$	|:$6$
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $3$:

f'''($3$) = $6+0$= $6$

Da f'''($3$)≠0, haben wir bei x = $3$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($3$) = $3^3-9\cdot 3^2+25\cdot 3-19$ = $2$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($3$| $2$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $3\cdot 3^2-18\cdot 3+25$

= $3\cdot 9-54+25$

= $27-54+25$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $3^3-9\cdot 3^2+25\cdot 3-19$ = $27-9\cdot 9+75-19$ = $27-81+75-19$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $-2$⋅3 + c

$2$ = $-6$ + c | + $6$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x + $8$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 8.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$-2x+8$	=	0	| $-8$
$-2x$	=	$-8$	|:($-2$)
$x$	=	$4$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $4$|0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 8 und $4$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $4$ ⋅ 8 = $16$.

1. x-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x-Wert des Tiefpunkts.

   Detail-Rechnung für den Tiefpunkt ($\frac{14}{3}$| $\frac{116}{27}$) einblenden

   $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^3-\frac{7}{4}{x}^2+17$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^2-\frac{7}{2}x+0$

   = $\frac{3}{4}{x}^2-\frac{7}{2}x$

   $\text{f''(x)}=$ $\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $\frac{3}{4}{x}^2-\frac{7}{2}x$	=	0	|⋅ 4
   $4\left(\frac{3}{4}{x}^2-\frac{7}{2}x\right)$	=	0
   $3x^2-14x$	=	0
   $x\left(3x-14\right)$	=	0

   Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

   1. Fall:

   x1

   =

   0

   
   

   2. Fall:

   $3x-14$	=	0	| $+14$
   $3x$	=	$14$	|:$3$
   x2	=	$\frac{14}{3}$

   Die Lösungen 0, $\frac{14}{3}$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

   Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

   
   

   1.: x=$0$

   f''($0$) = $\frac{3}{2}\cdot 0-\frac{7}{2}$= $0-\frac{7}{2}$= $-\frac{7}{2}$ <0

   Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($0$) = $\frac{1}{4}\cdot 0^3-\frac{7}{4}\cdot 0^2+17$ = $17$
   Man erhält so den Hochpunkt H:($0$| $17$)

   
   

   2.: x=$\frac{14}{3}$

   f''($\frac{14}{3}$) = $\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{14}{3}\right)-\frac{7}{2}$= $7-\frac{7}{2}$= $\frac{7}{2}$ >0

   Das heißt bei x = $\frac{14}{3}$ ist ein Tiefpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($\frac{14}{3}$) = $\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{14}{3}\right)}^3-\frac{7}{4}\cdot {\left(\frac{14}{3}\right)}^2+17$ = $\frac{116}{27}$ ≈ 4.296
   Man erhält so den Tiefpunkt T:($\frac{14}{3}$| $\frac{116}{27}$)

   ≈ T:(4.667|4.296)

   Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $\frac{14}{3}$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch kleinerer Funktionswert auftreten könnte:

   f(0) = 17 und f(7) = 17 sind aber beide nicht kleiner als der y-Wert des Tiefpunkt.

   Der kleinste Wert wird also nach $\frac{14}{3}$ s ≈ 4.67 s erreicht.

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der geringste Funktionswert, also der y-Wert des Tiefpunkts.

   (die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)

   Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ($\frac{14}{3}$| $\frac{116}{27}$).

   Der kleinste Wert beträgt somit $\frac{116}{27}$ Liter ≈ 4.3 s.

3. x-Wert bei der stärksten Abnahme

   Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Abnahme, also der x-Wert mit der stärksten negativen Steigung, und dieser liegt beim x-Wert des Tiefpunkt der ersten Ableitung f'(x).

   Wir leiten also erstmal ab:

   Detail-Rechnung für den Tiefpunkt von f' bei x=$\frac{7}{3}$ einblenden

   $\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^2-\frac{7}{2}x$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f''(x)}=$ $\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}$

   $\text{f'''(x)}=$ $\frac{3}{2}+0$

   = $\frac{3}{2}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f''(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

   $\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}$	=	0	|⋅ 2
   $2\left(\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}\right)$	=	0
   $3x-7$	=	0	| $+7$
   $3x$	=	$7$	|:$3$
   $x$	=	$\frac{7}{3}$

   Die Lösung x= $\frac{7}{3}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(x):

   Ist f'''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

   f'''($\frac{7}{3}$) = $\frac{3}{2}$= $\frac{3}{2}$= $\frac{3}{2}$ >0

   Das heißt bei x = $\frac{7}{3}$ ist ein Tiefpunkt.
   

   Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $\frac{7}{3}$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch kleinerer Funktionswert in der Ableitung auftreten könnte:

   Es gilt: f'(0) = 0, f'(7) = 12.25 und f'($\frac{7}{3}$) = -4.08 (Tiefpunkt).

   Da f'(0) und f'(7) nicht kleiner als f'($\frac{7}{3}$) ist, ist der kleinste Ableitungswert bei x = 2.33.

   Die stärkste Abnahme wird also nach $\frac{7}{3}$ s ≈ 2.33 s erreicht.