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Verschiebung am Graph erkennen (Potenzfktn)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph von $f(x) =$ $x^{5}$ in schwarzer Farbe.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion g, deren Graph in rot eingezeichnet ist.

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass der rote Graph nicht verschoben sondern gestreckt wurde und damit der Funktionterm die Form $a \cdot x^{5}$ haben muss. Da immer g(1)= $a \cdot 1^{5}$ = a gilt, kann man an der Stelle x=1 diesen Streckfaktor a sehr gut bestimmen: In diesem Fall kann man a = -2 ablesen und erhält somit für den gesuchten Funktionsterm g(x)= $- 2 x^{5}$ .

Verschiebung am Graph erkennen II

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph von $f(x) =$ $x^{3}$ in schwarzer Farbe.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion g, deren Graph in rot eingezeichnet ist.

Hinweis: Die beiden Graphen sind deckungsgleich.

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Man erkennt schnell, dass der rote Graph in x-Richtung verschoben wurde, und zwar um 4 nach links, bzw. -4 nach rechts. Statt den Funktionswerten von x werden also die von (x - ( - 4 )) berechnet, im Funktionsterm wird dabei x durch (x-( - 4 )) ersetzt.

Außerdem erkennt man eine Verschiebung um 1 nach unten, bzw. -1 nach rechts, was bedeutet dass auf alle Funktionswerte -1 drauf addieet wird.

Somit erhält man für den gesuchten Funktionsterm g(x)= ${(x + 4)}^{3} - 1$ .

Verschiebung am Term erkennen (Potenzfktn)

Beispiel:

Beschreibe, wie der Graph von g mit $g(x) =$ ${(x + 5)}^{3} - 2$ aus dem Graph von f mit $f(x) =$ $x^{3}$ entsteht.

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Man erkennt sofort, dass das 'x' in g(x) in f(x) durch (x +5) ersetzt wurde. Das bedeutet, dass in g die Funktionswerte von f von den um 5 größeren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei g um 5 kleiner als bei f) Für den Graph bedeutet das, dass er um 5 nach links, bzw. -5 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Hinter dem Potenzterm steht noch eine -2. Das bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch -2 dazu addiert wird. Also wird der Graph von g um 2 nach unten, bzw. -2 nach oben verschoben.

Term aus Versc/Streck. bestimmen (Potenzfktn)

Beispiel:

Der Graph von f mit $f(x) =$ $x^{3}$ wird um den Faktor $\frac{1}{4}$ in y-Richtung gestreckt und an der x-Achse gespiegelt und um 3 nach unten verschoben.

Bestimme den Funktionsterm g(x) des neuen Graphen.

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Bei der Verschiebung um 3 nach unten, bzw. -3 nach oben wird zu jedem Funktionswert noch -3 dazu addiert, also ein -3 an den Funktionsterm hinten angehängt.

Die Streckung um den Faktor $\frac{1}{4}$ in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten $\frac{1}{4}$ vor der Potenz.

Die Spiegelung an der x-Achse bekommt man durch ein negatives Vorzeichen bei dem Koeffizienten vor der Potenz, also - $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $g(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{3} - 3$