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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

$\begin{array}{cccccccc}$ 2$x_1& $ -1$x_2& +$ 4$x_3& =& $ 14$& & & \text{(I)}\\ $ -2$x_1& $ -8$x_2& $ -7$x_3& =& $ 10$& & & \text{(II)}\\ $ -4$x_1& +$ 5$x_2& $ -13$x_3& =& $ -60$& & & \text{(III)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{cccccccc}$ 2$x_1& $ -1$x_2& +$ 4$x_3& =& $ 14$& & & \text{(I)}\\ $ -2$x_1& $ -8$x_2& $ -7$x_3& =& $ 10$& & & \text{(II)}\\ $ -4$x_1& +$ 5$x_2& $ -13$x_3& =& $ -60$& & & \text{(III)}\end{array}$

langsame Rechnung einblenden$1$·(I) + $1$·(II)

$2$·(I) + $1$·(III)

$\begin{array}{cccccccc}$ 2$x_1& $ -1$x_2& $ 4$x_3& =& $ 14$& & & \text{(I)}\\ ($ 2-2$)x_1& +($ -1-8$)x_2& +($ 4-7$)x_3& =& ($ 14+10$)& & & \text{(II)}\\ ($ 4-4$)x_1& +($ -2+5$)x_2& +($ 8-13$)x_3& =& ($ 28-60$)& & & \text{(III)}\end{array}$

$\begin{array}{cccccccc}$ 2$x_1& $ -1$x_2& +$ 4$x_3& =& $ 14$& & & \text{(I)}\\ & $ -9$x_2& $ -3$x_3& =& $ 24$& & & \text{(II)}\\ & +$ 3$x_2& $ -5$x_3& =& $ -32$& & & \text{(III)}\end{array}$

langsame Rechnung einblenden$1$·(II) + $3$·(III)

$\begin{array}{cccccccc}$ 2$x_1& $ -1$x_2& $ 4$x_3& =& $ 14$& & & \text{(I)}\\ & $ -9$x_2& $ -3$x_3& =& $ 24$& & & \text{(II)}\\ & +($ -9+9$)x_2& +($ -3-15$)x_3& =& ($ 24-96$)& & & \text{(III)}\end{array}$

$\begin{array}{cccccccc}$ 2$x_1& $ -1$x_2& +$ 4$x_3& =& $ 14$& & & \text{(I)}\\ & $ -9$x_2& $ -3$x_3& =& $ 24$& & & \text{(II)}\\ & & $ -18$x_3& =& $ -72$& & & \text{(III)}\end{array}$

Zeile (III): $\begin{array}{cccccc}& & $ -18$x_3& =& $ -72$& \end{array}$

$x_3$ = $4$

eingesetzt in Zeile (II):

$\begin{array}{cccccc}& $ -9$x_2& $ -3$·($ 4$)& =& $ 24$& \end{array}$ | +$12$
= $36$ | : $\left(-9\right)$

$x_2$ = $-4$

eingesetzt in Zeile (I):

$\begin{array}{cccccc}$ 2$x_1& $ -1$($ -4$)& +$ 4$·($ 4$)& =& $ 14$& \end{array}$ | -$20$
$<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>x_1$ = $-6$ | : 2

$x_1$ = $-3$

$L=\{($ -3$\left|$ -4$\right|$ 4$)\}$

3x3-LGS (unendliche Lösungsmenge)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

$\begin{array}{cccccccc}$ 9$x_1& $ -2$x_2& +$ 3$x_3& =& $ -45$& & & \text{(I)}\\ & +$ 5$x_2& +x_3& =& $ 90$& & & \text{(II)}\\ $ 9$x_1& $ -17$x_2& & =& $ -315$& & & \text{(III)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{cccccccc}$ 9$x_1& $ -2$x_2& +$ 3$x_3& =& $ -45$& & & \text{(I)}\\ & +$ 5$x_2& +x_3& =& $ 90$& & & \text{(II)}\\ $ 9$x_1& $ -17$x_2& & =& $ -315$& & & \text{(III)}\end{array}$

$1$·(I) $-1$·(III)

$\begin{array}{cccccccc}$ 1$x_1& +$ 0$x_2& +$ 0$x_3& =& +$ 1$& & & \text{(I)}\\ $ 0$x_1& +$ 1$x_2& +$ 0$x_3& =& +$ 1$& & & \text{(II)}\\ ($ 9-9$)x_1& +($ -2+17$)x_2& +($ 3+0$)x_3& =& ($ -45+315$)& & & \text{(III)}\end{array}$

$\begin{array}{cccccccc}$ 9$x_1& $ -2$x_2& +$ 3$x_3& =& $ -45$& & & \text{(I)}\\ & +$ 5$x_2& +x_3& =& $ 90$& & & \text{(II)}\\ & +$ 15$x_2& +$ 3$x_3& =& $ 270$& & & \text{(III)}\end{array}$

langsame Rechnung einblenden$3$·(II) $-1$·(III)

$\begin{array}{cccccccc}$ 9$x_1& $ -2$x_2& $ 3$x_3& =& $ -45$& & & \text{(I)}\\ & $ 5$x_2& $ 1$x_3& =& $ 90$& & & \text{(II)}\\ & +($ 15-15$)x_2& +($ 3-3$)x_3& =& ($ 270-270$)& & & \text{(III)}\end{array}$

$\begin{array}{cccccccc}$ 9$x_1& $ -2$x_2& +$ 3$x_3& =& $ -45$& & & \text{(I)}\\ & +$ 5$x_2& +x_3& =& $ 90$& & & \text{(II)}\\ & & 0& =& $ 0$& & & \text{(III)}\end{array}$

Setze $x_3$ = t

eingesetzt in Zeile (II):

$\begin{array}{cccccc}& +$ 5$x_2& +($ 0$+t)& =& $ 90$& \end{array}$ | -$0$-$1$t
$<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>x_2$ = $90$-$1$t | : 5

$x_2$ = $18$$-\frac{1}{5}$t

eingesetzt in Zeile (I):

$\begin{array}{cccccc}$ 9$x_1& $ -2$·($ 18$$ -\frac{1}{5}$t)& +$ 3$·($ 0$+t)& =& $ -45$& \end{array}$ | +$36$-$\frac{17}{5}$t
$<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </math>x_1$ = $-9$-$\frac{17}{5}$t | : 9

$x_1$ = $-1$$-\frac{17}{45}$t

$L=\{($ -1$$ -\frac{17}{45}$t\left|$ 18$$ -\frac{1}{5}$t\right|$ 0$+t)\}$

Um die Zahlen noch etwas schöner zu machen ersetzen wir t durch t= 45s:

$L=\{($ -1$$ -17$s\left|$ 18$$ -9$s\right|$ 0$+$ 45$s)\}$

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

$\begin{array}{cccccccc}$ -4$x_1& +x_2& +$ 4$x_3& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ $ 4$x_1& +x_2& +$ 2$x_3& =& $ -17$& & & \text{(II)}\\ $ -4$x_1& +$ 2$x_2& +$ 9$x_3& =& $ -8r-10$& & & \text{(III)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{cccccccc}$ -4$x_1& +x_2& +$ 4$x_3& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ $ 4$x_1& +x_2& +$ 2$x_3& =& $ -17$& & & \text{(II)}\\ $ -4$x_1& +$ 2$x_2& +$ 9$x_3& =& $ -8r-10$& & & \text{(III)}\end{array}$

langsame Rechnung einblenden$1$·(I) + $1$·(II)

$1$·(I) $-1$·(III)

$\begin{array}{cccccccc}$ -4$x_1& $ 1$x_2& $ 4$x_3& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ ($ -4+4$)x_1& +($ 1+1$)x_2& +($ 4+2$)x_3& =& ($ -1-17$)& & & \text{(II)}\\ ($ -4+4$)x_1& +($ 1-2$)x_2& +($ 4-9$)x_3& =& ($ -1+8r+10$)& & & \text{(III)}\end{array}$

$\begin{array}{cccccccc}$ -4$x_1& +x_2& +$ 4$x_3& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ & +$ 2$x_2& +$ 6$x_3& =& $ -18$& & & \text{(II)}\\ & $ -1$x_2& $ -5$x_3& =& $ 8r+9$& & & \text{(III)}\end{array}$

langsame Rechnung einblenden$1$·(II) + $2$·(III)

$\begin{array}{cccccccc}$ -4$x_1& $ 1$x_2& $ 4$x_3& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ & $ 2$x_2& $ 6$x_3& =& $ -18$& & & \text{(II)}\\ & +($ 2-2$)x_2& +($ 6-10$)x_3& =& ($ -18+16r+18$)& & & \text{(III)}\end{array}$

$\begin{array}{cccccccc}$ -4$x_1& +x_2& +$ 4$x_3& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ & +$ 2$x_2& +$ 6$x_3& =& $ -18$& & & \text{(II)}\\ & & $ -4$x_3& =& $ 16r$& & & \text{(III)}\end{array}$

Zeile (III): $\begin{array}{cccccc}& & $ -4$x_3& =& $ 16r$& \end{array}$

$x_3$ = $-4r$

eingesetzt in Zeile (II):

$\begin{array}{cccccc}& +$ 2$x_2& +$ 6$·($ -4r$)& =& $ -18$& \end{array}$
$\begin{array}{cccccc}& +$ 2$x_2& $ -24r$& =& $ -18$& \end{array}$ | +$576r$
$<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>x_2$ = $24r-18$ | : 2

$x_2$ = $12r-9$

eingesetzt in Zeile (I):

$\begin{array}{cccccc}$ -4$x_1& +($ 12r-9$)& +$ 4$·($ -4r$)& =& $ -1$& \end{array}$
$\begin{array}{cccccc}$ -4$x_1& $ +\left(12r-9\right)$& $ -16r$& =& $ -1$& \end{array}$ | + $4r+9$
= $4r+8$ | : $\left(-4\right)$

$x_1$ = $-r-2$

$L=\{($ -r-2$\left|$ 12r-9$\right|$ -4r$)\}$

Schnittpunkt zweier Geraden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Im Schaubild sieht man zwei Geraden. Dummerweise ist der Schnittpunkt außerhalb des Schaubild.
Deswegen muss man diesen eben berechnen. Lies dazu erst die beiden Funktionsterme aus dem Schaubild.

Lösung einblenden

Da die die beiden Geraden an ihrem Schnittpunkt auch den gleichen y-Wert haben müssen, können wir die Terme einfach gleichsetzen um den gemeinsamen x-Wert zu erhalten:

$-\frac{1}{3}x+4$	=	$-\frac{2}{5}x+5$	| $-4$
$-\frac{1}{3}x$	=	$-\frac{2}{5}x+1$	|⋅ 15
$-5x$	=	$-6x+15$	| $+6x$
$x$	=	$15$

L={ $15$}

Damit haben wir den x-Wert des Schnittpunkts. Diesen müssen wir nun noch links oder rechts einsetzen um den y-Wert des Schnittpunkts zu erhalten:

$-\frac{1}{3}\cdot 15+4$= $-1$ oder $-\frac{2}{5}\cdot 15+5$= $-1$

Wir erhalten also den Schnittpunkt S($15$| $-1$).