Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = -1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-1)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{1}{1}$

= $1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -3 und x₂ = -1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-3) = ${\left(-3\right)}^3+3\cdot {\left(-3\right)}^2-1$ = $\left(-27\right)+3\cdot 9-1$ = -1 und
f(-1) = ${\left(-1\right)}^3+3\cdot {\left(-1\right)}^2-1$ = $\left(-1\right)+3\cdot 1-1$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-1) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -1 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-1)\; -\; f(-3)}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{2}$

= $1$

60 min sind 1 h, also sind 15 min eben $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{4}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 25

f($\frac{1}{4}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 25 |⋅ $\frac{1}{4}$

f($\frac{1}{4}$) -0 = $\frac{25}{4}$ |+0

f($\frac{1}{4}$) = 6.25

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{x^2+4-\left({\left(-1\right)}^2+4\right)}{x+1}$

= $\frac{x^2+4-{\left(-1\right)}^2-4}{x+1}$

= $\frac{x^2-{\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{x^2-{\left(-1\right)}^2}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $1·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $x-1$ = $-1-1$ = -2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{{\left(-1+h\right)}^2+4-\left({\left(-1\right)}^2+4\right)}{h}$

= $\frac{{\left(-1+h\right)}^2+4-{\left(-1\right)}^2-4}{h}$

= $\frac{{\left(h-1\right)}^2-1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^2-2h+1-1}{h}$

= $\frac{h^2-2h}{h}$

= $\frac{h\left(h-2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h-2$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $h-2$ = $0-2$ = -2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\frac{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1^2}}{x-1}$ = $\frac{\frac{1}{x^2}-1}{x-1}$ = $\frac{-1+\frac{1}{x^2}}{x-1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{-1+\frac{1}{{\mathrm{1,1}}^2}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -1.73554

x = 1.01: $\frac{-1+\frac{1}{{\mathrm{1,01}}^2}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -1.9704

x = 1.001: $\frac{-1+\frac{1}{{\mathrm{1,001}}^2}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -1.997

x = 1.0001: $\frac{-1+\frac{1}{{\mathrm{1,0001}}^2}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -1.9997

x = 1.00001: $\frac{-1+\frac{1}{1^2}}{0.00001}$ ≈ -1.99997

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $\frac{-1+\frac{1}{x^2}}{x-1}$ ≈ -2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{5x^2-1-\left(5u^2-1\right)}{x-u}$

= $\frac{5x^2-1-5u^2+1}{x-u}$

= $\frac{5x^2-5u^2}{x-u}$

= $\frac{5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $5(x+u)$ = $5·(u+u)$ = $10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{4\sqrt{x}-5-\left(4\sqrt{u}-5\right)}{x-u}$

= $\frac{4\sqrt{x}-5-4\sqrt{u}+5}{x-u}$

= $\frac{4\sqrt{x}-4\sqrt{u}}{x-u}$

= $\frac{4\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{x-u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ statt x und ${\left(\sqrt{u}\right)}^2$ statt u:

= $\frac{4\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{u}\right)}^2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{4\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)·\left(\sqrt{x}+\sqrt{u}\right)}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x}-\sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$ = $\frac{4}{\sqrt{u}+\sqrt{u}}$ = $\frac{2}{\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{2}{\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{2}{\sqrt{x}}$.