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parallele Ebene durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: $4 x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = -4$ ist und die den Punkt P $(1 | 3 | 0)$ enthält.

Lösung einblenden

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})$ und damit die Form E: $4 x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = d$ .

Da der Punkt P $(1 | 3 | 0)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 0 = d$

$4 +6 +0 = d$

$10 = d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4 x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 10$ .

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P $(2 | 5 | 0)$ auf der Ebene E: $a x_{1} - 3 x_{2} + 5 x_{3} = -23$ ?

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Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$a \cdot 2 + (-3) \cdot 5 + 5 \cdot 0 = -23$
$a ⋅ 2 + (-15) + 0 = -23$ |+15
2a = -8 | :2
a = -4

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -1 \\ -5 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ -5 \end{matrix})$ ist und die den Punkt P $(-1 | 3 | -4)$ enthält.

Lösung einblenden

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ -5 \end{matrix})$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4 x_{1} - 4 x_{2} - 5 x_{3} = d$ .

Da der Punkt P $(-1 | 3 | -4)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4 \cdot (-1) - 4 \cdot 3 - 5 \cdot (-4) = d$

$4 -12 +20 = d$

$12 = d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4 x_{1} - 4 x_{2} - 5 x_{3} = 12$ .

spezielle Ebenen

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: $-7 x_{1} = 9$ ?

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Der Normalenvektor der Ebene ist $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} -7 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ , er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

spezielle Ebenen aufstellen

Beispiel:

Bestimme die Koordinatengleichung der x₁-x₂-Ebene.

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Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+ x_{3} = d$ . Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0$ =0
also: $+ x_{3} = 0$

spezielle Ebene in Parameterform

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: $\vec{x} = (\begin{matrix} 7 \\ 0 \\ 9 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} -7 \\ 0 \\ 7 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ ?

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1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ .)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Beispiel:

Bestimme a und b so, dass die Gerade g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -4 \\ -2 \\ -4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -5 \\ -5 \end{matrix})$ komplett in der Ebene E: $- 5 x_{2} + a x_{3} = b$ liegt.

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Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$(\begin{matrix} -5 \\ -5 \\ -5 \end{matrix})$ ⋅ $(\begin{matrix} 0 \\ -5 \\ a \end{matrix})$ = 0

$(-5) \cdot 0 + (-5) \cdot (-5) + (-5) \cdot a = 0$
$0 + 25 + a ⋅ (-5) = 0$ |-25
-5a = -25 | :(-5)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $- 5 x_{2} + 5 x_{3} = b$ .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $(-4 | -2 | -4)$ .

Wir müssen also nur den Aufpunkt $(-4 | -2 | -4)$ in E: $- 5 x_{2} + 5 x_{3} = b$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$- 5 \cdot (-2) + 5 \cdot (-4) = b$

$0 +10 -20 = b$

$-10 = b$

Mit b = -10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $- 5 x_{2} + 5 x_{3} = -10$ .

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Ebenen E: $5 x_{1} + 39 x_{2} - x_{3} = 117$ und F: $-15 x_{1} + a x_{2} + 3 x_{3} = b$ . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen identisch sind.

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Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$(\begin{matrix} -15 \\ a \\ 3 \end{matrix})$ = t⋅ $(\begin{matrix} 5 \\ 39 \\ -1 \end{matrix})$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -3 ⋅ 39 = -117.

Für a = -117 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-15 x_{1} - 117 x_{2} + 3 x_{3} = b$ .

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-15 x_{1} - 117 x_{2} + 3 x_{3} = -351$ , d.h. für b = -351 sind die beiden Ebenen identisch.

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parallele Ebene durch Punkt

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

spezielle Ebenen

spezielle Ebenen aufstellen

spezielle Ebene in Parameterform

1. Weg:

2. Weg:

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen