Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Wir sehen, dass der gesuchte rote Graph an der x-Achse gespiegelt wurde. Das heißt, dass alle Funktionswerte vom Betrag her gleich sind wie die der Original-e-Funktion, aber eben mit negativem Vorzeichen. Wir erhalten also als Funktionsterm des rot abgebildeten Graphen f(x)= $-e^x$.

Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Wir sehen, dass der gesuchte rote Graph aber (teilweise) unter der x-Achse liegt. Deswegen spiegeln wir die Original-e-Funktion an der y-Achse und erhalten den blau abgebildeten Graphen der Funktion f₁(x)= $-e^x$.

Man erkennt nun (v.a. wieder am fast waagrecht verlaufenden Teil), dass der gesuchte rote Graph um 2 nach unten verschoben ist. Wir nähern uns somit mit dem orangen Graphen der Funktion f₃(x)= $-e^x-2$ dem roten Graphen auf der richtige 'Höhe' an.

Dadurch erhalten wir als gesuchten Funktionsterm:
f(x)= $-e^x-2$.

Wenn man sich die Originalfunktion f mit $\text{f(x)}=$ $x^4$ (in schwarz eingezeichnet) einigermaßen vorstellen kann, erkennt man schnell, dass der rote Graph in y-Richtung verschoben wurde, und zwar um 2 nach unten, bzw. -2 nach oben. Der gesuchte Funktionsterm ist also g(x)= $x^4-2$

Als erstes untersuchen wir, ob der zweite (rot eingezeichnete) Graph an einer Koordinatenachse gespiegelt wurde oder nur verschoben:
Wir erkennen, dass der zweite Graph nirgends gespiegelt, sondern nur verschoben wurde.

Wenn wir jetzt den markanten Tiefpunkt betrachten, so erkennen wir dass dieser von (-1|-1.1) in der Originalfunktion nach (1|-3.1) verschoben wurde, wir erkennen also eine Verschiebung um 2 in x-Richtung und um -2 in y-Richtung.

Der neue Funktionsterm ist folglich: g(x)=f(x -2) + -2 = $3\left(x-2\right)·e^{x-2}-2$

Hinter dem Hauptterm steht noch eine 3. Das bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch 3 dazu addiert wird. Also wird der Graph von g um 3 nach oben verschoben.

Die $\frac{1}{2}$ als Koeffizient vor dem Hauptterm bewirkt, dass die Funktionswerte mit dem Faktor $\frac{1}{2}$ multipliziert werden. Dadurch wird der Graph um $\frac{1}{2}$ gestreckt.

Die Streckung um den Faktor $\frac{1}{3}$ in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten $\frac{1}{3}$ vor der Potenz.

Die Spiegelung an der x-Achse bekommt man durch ein negatives Vorzeichen bei dem Koeffizienten vor der Potenz, also - $\frac{1}{3}$.

Bei der Verschiebung um 3 nach rechts wird jedes 'x' durch (x -3) ersetzt.

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $\text{g(x)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot \cos \left(x-3\right)$

Man kann erkennen, dass der Graph von f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{\left(x-4\right)}^5+4$ durch Verschieben und Strecken aus dem Graph von g mit $\text{g(x)}=$ $x^5$ hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x -4) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 4 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 4 größer als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 4 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das 4 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch 4 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 4 nach oben verschoben.

Der Graph der Grundfunktion g mit $\text{g(x)}=$ $x^5$ hat ja genau einen Sattelpunkt, und zwar im Ursprung O(0|0). Dieser wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei (4|4).

Das negative Vorzeichen im Koeffizienten $-\frac{1}{2}$ ändert das Vorzeichen der Funktionswerte und bewirkt somit eine Spiegelung an der x-Achse.

Dadurch verändert der Sattelpunkt zwar seine Richtung, bleibt aber ein Sattelpunkt.

(Die Streckung (bzw. Stauchung) des Graphen durch den Koeffizienten $-\frac{1}{2}$ vor der Potenz ändert an der Art und Lage des Sattelpunkt nichts.)

Der Graph der Funktion f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{\left(x-4\right)}^5+4$ besitzt somit einen Sattelpunkt SP(4|4).

Man kann erkennen, dass der Graph von f mit $\text{f(x)}=$ $-3{\left(x-5\right)}^5+5{\left(x-5\right)}^3+4$ durch Verschieben aus dem Graph von g mit $\text{g(x)}=$ $-3x^5+5x^3$ hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x -5) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 5 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 5 größer als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 5 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das 4 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch 4 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 4 nach oben verschoben.

Da bei der Grundfunktion g mit $\text{g(x)}=$ $-3x^5+5x^3$ nur ungerade Potenzen vorkommen, ist ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung O)0|0). Dieser Symmetriepunkt wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei (5|4).

Der Graph der Funktion f mit $\text{f(x)}=$ $-3{\left(x-5\right)}^5+5{\left(x-5\right)}^3+4$ ist somit punktsymmetrisch zum Punkt (5|4).

Der Graph der Originalfunktion $\text{f(x)}=$ $-2+3x^2·e^x$ soll an der Geraden y = -3 (rot) gespiegelt werden.

Dazu verschieben wir die Funktion als erstes um +3 in y-Richtung und erhalten somit f₁(x)= $-2+3x^2·e^x+3$ = $1+3x^2·e^x$ (grün).

Dabei erkennen wir, dass die Lage von der (schwarzen) Orginalfunktion zur Geraden y = -3 (rot) genau gleich ist wie die Lage der neuen verschobenen Funktion f₁(x) (grün) zur x-Achse.

Diese verschobene (grüne) Funktion spiegeln wir nun an der x-Achse. Dabei drehen wir einfach das Vorzeichen des gesamten Funktionsterm um und erhalten so den orangen Graph von f₂(x)= $-(1+3x^2·e^x)$ = $-1-3x^2·e^x$.

Zum Schluss müssen wir die Verschiebung vom ersten Schritt wieder Rückgängig machen und den gespiegelten orangen Graph von f₂(x) wieder um -3 in y-Richtung verschieben. Dabei erhalten wir den gesuchten Graph mit dem Funktionsterm
g(x)= $-1-3x^2·e^x-3$ = $-4-3x^2·e^x$ (blau).

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden y=-3 ist.

Der Graph der Originalfunktion $\text{f(x)}=$ $-1+3x·e^x$ soll an der Geraden x = -2 (rot) gespiegelt werden.

Dazu spiegeln wir die Funktion erst mal an der y-Achse, indem wir im gesamten Funktionsterm -x statt x einsetzen. So erhalten wir den Funktionsterm
f₁(x)= $3\left(-x\right)·e^{-x}-1$ = $-1-3x·e^{-x}$
dessen Graph im Schubild rechts in grün eingezeichnet ist.

Hier erkennt man jetzt, dass der Abstand des aktuell gespiegelten Graphs von f₁(x) von der gesuchten Spiegelung an x = -2 gerade der doppelte Abstand ist wie der zwischen Spiegelachse und y-Achse.

Wir müssen also den an der y-Achse gespiegelten Graph von f₁(x) um 4 Einheiten nach links verschieben. Dazu müssen wir überall im Term von f₁(x)= $-1-3x·e^{-x}$ das x durch (x +4) ersetzen und erhalten so den Term :
Graph von g(x)= $3(-\left(x+4\right))·e^{-\left(x+4\right)}-1$ = $-1-3\left(x+4\right)·e^{-x-4}$.

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden x=-2 ist.