$x^{-7}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^7}$.

Also ist $-2x^{-7}$ das gleiche wie $-2·\frac{1}{x^7}$ = $-\frac{2}{x^7}$.

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{5}{8}}$ = x^{5⋅$\frac{1}{8}$} = ${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{8}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{8}}$ = $\sqrt[8]{x^5}$

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: ${\left(\sqrt[5]{x}\right)}^6$ = ${\left(x^{\frac{1}{5}}\right)}^6$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^{\frac{1}{5}}\right)}^6$ = $x^{\frac{1}{5}·6}$ = $x^{\frac{6}{5}}$

${27}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{27}\right)}^2$

= $3^2$

= 9

${25}^{-\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>25</mn></mrow>\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{1}{\sqrt{25}}$

= $\frac{1}{5}$

${\mathrm{1,21}}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{\mathrm{1,21}}$

= $\mathrm{1,1}$

${\left({16}^{-3}\right)}^{-\frac{1}{2}}$

= ${16}^{-3·\left(-\frac{1}{2}\right)}$

= ${16}^{\frac{1}{2}·3}$

= ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^3$

= ${\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $4^3$

= $64$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[5]{x^3}·\sqrt[15]{x^{18}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}}\cdot x^{\frac{18}{15}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}}\cdot x^{\frac{6}{5}})}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{3}{5}+\frac{6}{5}}\right)}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{9}{5}}\right)}^{15}$

= $x^{\frac{9}{5}·15}$

= $x^{27}$

$\frac{\frac{8}{c^4}}{9c^{-5}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{c^4}}{\frac{9}{c^5}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{c^4}·\frac{c^5}{9}$

= $\frac{8}{9}c$