Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x = -4 einen VZW in der Funktion f ' von + nach -. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = -4 einen Hochpunkt haben.

Wir erkennen bei x = -3 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = -3 einen Tiefpunkt haben.

Wir erkennen bei x = 0 einen VZW in der Funktion f ' von + nach -. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 0 einen Hochpunkt haben.

Wir erkennen bei x = 4 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 4 einen Tiefpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0 und x = 2.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion von f ', also die 2. Ableitungsfunktion f '', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-3] gilt: f ''(x) ≤ 0, also ist f ' monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [-3;-1] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-1;3] gilt: f ''(x) ≤ 0, also ist f ' monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [3;6] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung 2 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 2 haben. Es muss also f '(x) = 2 gelten.

Am Schaubild kann man f '(1) = 2 und f '(-3) = 2 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = 1 und x₂ = -3.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente F '(-1) = f(-1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich F(-1) = 0 am Schaubild ablesen:

Also gilt: F(-1) + f(-1) = 0 + 0 = $0$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $-1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($-1$).

f($-1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($-1$) = $-2$.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Wir können im Schaubild f(-3) = 0 und f(1) = 0 ablesen.

Also gilt $$\underset{-3}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx$$ = f(1)- f(-3) = 0 - 0 = 0.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Wir können also F(2)- F(-2) durch den Wert des Integrals $$\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-2;2] einschließt.

Dazu zerlegen wir die Fläche in eine Rechtecks- und eine Dreiecksfläche:

I₁ = ( - 1 )⋅4 = -4 (Rechteck)

I₂ = $\frac{1}{2}$⋅( - 2 )⋅4 = -4 (Dreieck)

Wir erhalten also I=I₁+I₂ = -8 als orientierten Flächeninhalt.

Somit gilt: F(2)-F(-2) = -8

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Oder anders ausgedrückt F(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als F(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -3.1 und x = 0.25 die Werte von f alle negativ sind, die Stammfunktion F ist hier also monton fallend. Also muss F(0.25) < F(-3.1) sein.

Zwischen x=0.25 und x=2.9 sind die Werte von f dagegen alle positiv, die Stammfunktion F muss hier also monton steigend sein. Folglich ist F(2.9) > F(0.25).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte F(0.25) der kleinste der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob F(-3.1)>F(2.9) oder F(2.9)>F(-3.1) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$$\left|\underset{-3.1}{\overset{0.25}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$ > $$\left|\underset{0.25}{\overset{2.9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$

Das bedeutet, dass die Abnahme im linken Interval zwischen -3.1 und 0.25 größer ist als der Zuwachs im rechten Interval zwischen 0.25 und 2.9.

Also muss F(-3.1) größer als F(2.9) sein. Insgesamt gilt:

F(0.25) < F(2.9) < F(-3.1)

1. Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $$\underset{\mathrm{c}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -2 eine Nullstelle von J_-2.
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Man kann aber keine Integralflächen über und unterhalb der x-Achse finden, die sich gegenseitig kann aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-2(x) = $$\underset{-2}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ im abgebildeten Bereich 1 Nullstelle.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Oder anders ausgedrückt F(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als F(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -1 und x = 1 die Werte von f alle positiv sind, die Stammfunktion F ist hier also monton steigend. Also muss F(1) > F(-1) sein.

Zwischen x=1 und x=2 sind die Werte von f dagegen alle negativ, die Stammfunktion F muss hier also monton fallend sein. Folglich ist F(2) < F(1).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte F(1) der größte der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob F(-1)>F(2) oder F(2)>F(-1) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$$\left|\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$ > $$\left|\underset{1}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$

Das bedeutet, dass der Zuwachs im linken Interval zwischen -1 und 1 größer ist als die Abnahme im rechten Interval zwischen 1 und 2.

Also muss F(-1) kleiner als F(2) sein. Insgesamt gilt:

F(-1) < F(2) < F(1)