$$\underset{3}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 3)\; \cdot \; <mn>2</mn>}}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₄ = $$\underset{7}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{\mathrm{2\; +\; <mn>4</mn>}}{2}$ = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$$\underset{3}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₂ + I₃ + I₄ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{7}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 2 +4 +6 = 12

= ${\left[-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2\right]}_{-2}^0$

$=$ $-\frac{1}{3}\cdot 0^3+\frac{3}{2}\cdot 0^2-\left(-\frac{1}{3}\cdot {\left(-2\right)}^3+\frac{3}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2\right)$

= $-\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{3}{2}\cdot 0-\left(-\frac{1}{3}\cdot \left(-8\right)+\frac{3}{2}\cdot 4\right)$

= $0+0-\left(\frac{8}{3}+6\right)$

= $0-\left(\frac{8}{3}+\frac{18}{3}\right)$

= $-1·\frac{26}{3}$

= $-\frac{26}{3}$

= ${\left[\cos \left(x\right)-\frac{8}{9}{x}^3\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\cos \left(\pi \right)-\frac{8}{9}\cdot {\pi }^3-\left(\cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\frac{8}{9}\cdot {\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^3\right)$

= $-1-\frac{8}{9}\cdot {\pi }^3-\left(0-\frac{8}{9}\cdot {\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^3\right)$

= $-1-\frac{8}{9}\cdot {\pi }^3+\frac{1}{9}\cdot {\pi }^3$

= $-1-\frac{7}{9}\cdot {\pi }^3$

= ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{2x-4}\right]}_2^3$

$=$ $-\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 3-4}+\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 2-4}$

= $-\frac{3}{2}{e}^{6-4}+\frac{3}{2}{e}^{4-4}$

= $-\frac{3}{2}{e}^2+\frac{3}{2}{e}^0$

= $-\frac{3}{2}{e}^2+\frac{3}{2}$

= ${\left[-\frac{7}{8}{e}^{2x}+\cos \left(x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-\frac{7}{8}{e}^{2\cdot \pi }+\cos \left(\pi \right)-\left(-\frac{7}{8}{e}^{2\cdot \left(0\right)}+\cos \left(0\right)\right)$

= $-\frac{7}{8}{e}^{2\cdot \pi }-1-\left(-\frac{7}{8}{e}^0+1\right)$

= $-\frac{7}{8}{e}^{2\cdot \pi }-1-\left(-\frac{7}{8}+1\right)$

= $-\frac{7}{8}{e}^{2\cdot \pi }-1-\left(-\frac{7}{8}+\frac{8}{8}\right)$

= $-\frac{7}{8}{e}^{2\cdot \pi }-1-1·\frac{1}{8}$

= $-\frac{7}{8}{e}^{2\cdot \pi }-1-\frac{1}{8}$

= $-\frac{7}{8}{e}^{2\pi }-\frac{9}{8}$

= ${\left[\frac{1}{2}\cdot \cos \left(-2x+\frac{1}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(-2\cdot \pi +\frac{1}{2}\pi \right)-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(-2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\frac{1}{2}\pi \right)$

= $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(-\frac{3}{2}\pi \right)-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$

= $\frac{1}{2}\cdot 0-\frac{1}{2}\cdot 0$

= $0+0$

= 0