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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6$

$f'(x) =$ 0

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{x^{2}}$

= $7 x^{- 2}$

=> f'(x) = $- 14 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- \frac{14}{x^{3}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \sqrt[6]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \sqrt[6]{x}$

= $- 7 x^{\frac{1}{6}}$

=> f'(x) = $- \frac{7}{6} x^{- \frac{5}{6}}$

$f'(x) =$ $- \frac{7}{6 {(\sqrt[6]{x})}^{5}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{x^{4}}$ im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{x^{4}}$

= $3 x^{- 4}$

=> f'(x) = $- 12 x^{- 5}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{12}{x^{5}}$

f'(-1) = $- \frac{12}{{(- 1)}^{5}}$ = $- 12 \cdot (- 1)$ = $12$

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{x}$ im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{x}$

= $- 2 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- x^{- \frac{1}{2}}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{x}}$

f'(16) = $- \frac{1}{\sqrt{16}}$ = $- \frac{1}{4}$ ≈ -0.25

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2 x^{4}}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 2 x + 3$ hat als Steigung m = $- 2$ und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $- 2$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $- \frac{1}{2 x^{4}}$

= $- \frac{1}{2} x^{- 4}$

=> f'(x) = $2 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{x^{5}}$

Diese Ableitung muss ja = $- 2$ sein, also setzen wir $\frac{2}{x^{5}}$ = $- 2$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{5}$ weg!

$\frac{2}{x^{5}}$	=	$- 2$	\|⋅( $x^{5}$ )
$\frac{2}{x^{5}} \cdot x^{5}$	=	$- 2 \cdot x^{5}$
$2$	=	$- 2 x^{5}$

$2$	=	$- 2 x^{5}$	\| $- 2$ $+ 2 x^{5}$
$2 x^{5}$	=	$- 2$	\|: $2$
$x^{5}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[5]{1}$	= $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = $\frac{2}{{(- 1)}^{5}}$ = $- 2$