$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x-3}+\frac{1}{2x^2}$

= $-3e^{3x-3}+\frac{1}{2}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $-3e^{3x-3}·3-x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x-3}·3-\frac{1}{x^3}$

= $-9e^{3x-3}-\frac{1}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x}+x^5·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x}+x^5·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $5x^4·e^{-2x}-2x^5·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(5x^4-2x^5\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{5x}·5$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{-3x^3-5}$

= ${\left(-3x^3-5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{\left(-3x^3-5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-9x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{-3x^3-5}}·\left(-9x^2+0\right)$

= $\frac{1}{2\sqrt{-3x^3-5}}·\left(-9x^2\right)$

= $-\frac{9}{2}\frac{x^2}{\sqrt{-3x^3-5}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^x·\left(x+81\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-2$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-2$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,2}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{1,2}x+6+4\right)-2$

= $-2+\left(-\mathrm{1,2}x+6+4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-2+\left(-\mathrm{1,2}x+10\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$