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Symmetrieeigenschaften (elementar)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $9 x$ vorliegt.

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Da f nur ungerade Hochzahlen hat, ist ihr Schaubild punktsymmetrisch zum Ursprung.

Symmetrie bestimmen (allg.)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3 x^{3} + x}{x^{3}}$ vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\frac{3 {(- x)}^{3} + (- x)}{{(- x)}^{3}}$ = $- (\frac{- 3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- x}{x^{3}})$

Wenn man das mit f(x) = $\frac{3 x^{3} + x}{x^{3}}$ = $\frac{3 x^{2} + 1}{x^{2}}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Verhalten gegen ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- x^{3} + x^{2}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent $- x^{3}$ immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei $- x^{3}$ ungerade ist, hat $x^{3}$ ein negatives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit $- 1$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ $- x^{3}$ → $\infty$

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ $- x^{3} + x^{2}$ → $\infty$

x → + ∞

$x^{3}$ hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit $- 1$ erhalten wir so also ein negatives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ $- x^{3}$ → $- \infty$

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ $- x^{3} + x^{2}$ → $- \infty$

Term mit Grenzverhalten bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

der Grad von f muss mindestens 2 sein
Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞
f(1) = -2

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Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ gleich ist, muss der Grad einer solchen Funktion gerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 2 sind muss nehmen wir am besten 2 als Grad.

Für f(x) = $x^{2}$ wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = $1^{2}$ = 1 ist aber leider nicht -2. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende -2 -1 = -3 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term $x^{2}$ hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: $f(x) =$ $x^{2} - 3$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet