Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 3 x + 28}$ = $8$

$2 \sqrt{- 3 x + 28}$	=	$8$	\|: $2$
$\sqrt{- 3 x + 28}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 28$	=	$4^{2}$

$- 3 x + 28$	=	$16$	\| $- 28$
$- 3 x$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $2 \sqrt{- 3 x + 28}$

$=$ $2 \sqrt{- 3 \cdot 4 + 28}$

= $2 \sqrt{- 12 + 28}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $4$ in $8$

$=$ $8$

Also 8 = 8

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 16 x + 33} - 3$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 16 x + 33} - 3$	=	$- 2 x$	\| $+ 3$
$\sqrt{- 16 x + 33}$	=	$- 2 x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 16 x + 33$	=	${(- 2 x + 3)}^{2}$

- 16 x + 33

=

4 x^{2} - 12 x + 9

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

- 9

- 4 x^{2} - 4 x + 24

= 0 |:4

$- x^{2} - x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1+5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1-5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 16 x + 33} - 3$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot (- 3) + 33} - 3$

= $\sqrt{48 + 33} - 3$

= $\sqrt{81} - 3$

= $9 - 3$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 3)$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- 16 x + 33} - 3$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot 2 + 33} - 3$

= $\sqrt{- 32 + 33} - 3$

= $\sqrt{1} - 3$

= $1 - 3$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 2$

= $- 4$

Also -2 ≠ -4

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{21 x + 249}$ = $2 \sqrt{5 x + 61}$

Lösung einblenden

$\sqrt{21 x + 249}$	=	$2 \sqrt{5 x + 61}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$21 x + 249$	=	${(2 \sqrt{5 x + 61})}^{2}$

$21 x + 249$	=	$4 (5 x + 61)$
$21 x + 249$	=	$20 x + 244$	\| $- 249$
$21 x$	=	$20 x - 5$	\| $- 20 x$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{21 x + 249}$

$=$ $\sqrt{21 \cdot (- 5) + 249}$

= $\sqrt{- 105 + 249}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 \sqrt{5 x + 61}$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot (- 5) + 61}$

= $2 \sqrt{- 25 + 61}$

= $2 \sqrt{36}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 29}$ = $\sqrt{2 x - 9} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 29}$	=	$\sqrt{2 x - 9} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 29$	=	${(\sqrt{2 x - 9} + 2)}^{2}$

$6 x - 29$	=	$4 \sqrt{2 x - 9} + 2 x - 5$	\| $- 6 x$ $+ 29$ $- 4 \sqrt{2 x - 9}$
$- 4 \sqrt{2 x - 9}$	=	$- 4 x + 24$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x - 9}$	=	$x - 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 9$	=	${(x - 6)}^{2}$

2 x - 9

=

x^{2} - 12 x + 36

|

- x^{2}

+ 12 x

- 36

$- x^{2} + 14 x - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 45)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 14+4}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 14-4}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{6 x - 29}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 5 - 29}$

= $\sqrt{30 - 29}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $5$ in $\sqrt{2 x - 9} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 5 - 9} + 2$

= $\sqrt{10 - 9} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{6 x - 29}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 9 - 29}$

= $\sqrt{54 - 29}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{2 x - 9} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 9 - 9} + 2$

= $\sqrt{18 - 9} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -3

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 5

Probe für x = 9

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $5$

Probe für x = $9$