Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 43 und p = 0.65
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

Lösung einblenden

Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 43 und p = 0.65 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 43 ⋅ 0.65 = 27.95

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{43 ⋅ 0.65 ⋅ 0.35}$ = $\sqrt{9.7825}$ ≈ 3.13

n und p aus Erwartungswert und Standardabw.

Beispiel:

Bei einer Binomialverteilung sind der Erwartungswert μ = 60 und die Standardabweichung σ = 6 bekannt.

Bestimme die Parameter n (Stichprobengröße) und p (Einzelwahrscheinlichkeit) dieser Binomialverteilung.

Lösung einblenden

Für den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ gelten die Formeln:
(1) μ = n ⋅ p, also 60 = n ⋅ p
(2) σ = $\sqrt{n\cdotp\cdot(1-p)}$

Setzt man nun 6 für σ und 60 für n ⋅ p in die 2. Formel ein, so erhält man:

6 = $\sqrt{60\cdot(1-p)}$

(wenn man nun auf beiden Seiten quadriert braucht man anschließend keine Probe, weil wir es ausschließlich mit positiven Werten zu tun haben)

36 = 60 ⋅ (1-p) |:60

$\frac{36}{60}$ = 1-p

$\frac{3}{5}$ = 1-p

Also gilt p = 1 - $\frac{3}{5}$ = $\frac{2}{5}$

Jetzt kann man das n einfach durch Einsetzen von p in (1) bestimmen:

60 = n ⋅ $\frac{2}{5}$ |⋅ $\frac{5}{2}$

Somit gilt: n = 150