Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$1$) und B(2|$32$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $1$ = $a·1^n$
II: $32$ = $a·2^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $1$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $32$ = $2^n$ | ⋅ $1$

$32$ = $2^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $x^5$

Wir setzen einfach die beiden Punkte A($\frac{1}{2}$|$\frac{1}{16}$) und B($\frac{3}{2}$|$\frac{81}{16}$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{16}$ = $a·{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$
II: $\frac{81}{16}$ = $a·{\left(\frac{3}{2}\right)}^n$

Jetzt lösen wir mal die beide Gleichungen nach a auf:

I: = a
II: = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

= | ⋅ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ ⋅ ${\left(\frac{3}{2}\right)}^n$

$\frac{1}{16}$ ⋅ ${\left(\frac{3}{2}\right)}^n$ = $\frac{81}{16}$ ⋅ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ | ⋅ 16

$1$ ⋅ ${\left(\frac{3}{2}\right)}^n$ = $81$ ⋅ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

Jetzt muss man eben erkennen, dass ${\left(\frac{3}{2}\right)}^n$ = ${\left(3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)}^n$ = $3^n$ ⋅ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ ist.

$3^n·{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ = $81\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ | : ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

$3^n$ = $81$ | :$1$

$3^n$ = $81$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$4$

n=$4$ eingesetzt in I:

I: $\frac{1}{16}$ = $a·{\left(\frac{1}{2}\right)}^4$

I: $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}a$ | ⋅ $16$

also a=$1$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $x^4$