nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Bestimme alle Teiler von 55 an:

Lösung einblenden

Wir suchen alle Teiler von 55. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 55 ist, teilen wir 55 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 55 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 55, denn 55 = 1 ⋅ 55, also ist auch 55 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 55, denn 55 = 2 ⋅ 27 + 1.

3 ist kein Teiler von 55, denn 55 = 3 ⋅ 18 + 1.

4 ist kein Teiler von 55, denn 55 = 4 ⋅ 13 + 3.

5 ist Teiler von 55, denn 55 = 5 ⋅ 11, also ist auch 11 ein Teiler.

6 ist kein Teiler von 55, denn 55 = 6 ⋅ 9 + 1.

7 ist kein Teiler von 55, denn 55 = 7 ⋅ 7 + 6.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 8 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 8 ⋅ 8 = 64 > 55, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 55:
1, 5, 11, 55

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 154⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

Lösung einblenden

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 4⬜.

Bei den 40er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 40, 44, 48 durch 4 teilbar sind.

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1540, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 4 + 0 = 10, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1544, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 4 + 4 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1548, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 4 + 8 = 18, also durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 8.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 26 als Summe von zwei Primzahlen:

Lösung einblenden

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 26 bilden:

2 + 24 = 26, dabei ist 24 aber keine Primzahl

3 + 23 = 26, dabei ist 23 auch eine Primzahl

3 und 23 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 23 = 26

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 44 :

Lösung einblenden

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 44 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

44
= 2 ⋅ 22
= 2 ⋅ 2 ⋅ 11

Primfaktorzerlegung + Teiler

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 40 und gib alle Teiler von 40 an:

Lösung einblenden

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 40 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

40
= 2 ⋅ 20
= 2 ⋅ 2 ⋅ 10
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 40 :

1 Teiler

2 = 2
5 = 5

2 Teiler

2 ⋅ 2 = 4
2 ⋅ 5 = 10

3 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20

4 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 40

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 40:
1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40