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Verschiebung / Streckung bestimmen

Beispiel:

Der Graph von f mit $f(x) =$ $4^{x}$ wird um den Faktor 3 in y-Richtung gestreckt und an der x-Achse gespiegelt und um 1 nach unten verschoben.

Bestimme den Funktionsterm g(x) des neuen Graphen.

Lösung einblenden

Die Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten 3 vor der Potenz.

Die Spiegelung an der x-Achse bekommt man durch ein negatives Vorzeichen bei dem Koeffizienten vor der Potenz, also - 3.

Bei der Verschiebung um 1 nach unten, bzw. -1 nach oben wird zu jedem Funktionswert noch -1 dazu addiert, also ein -1 an den Funktionsterm hinten angehängt.

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $g(x) =$ $- 3 \cdot 4^{x} - 1$

Streckung bestimmen (schwer)

Beispiel:

Verschiebt man den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $3^{x}$ um 3 nach rechts, so erhält man den Graph der Funktion g mit $g(x) =$ $3^{x - 3}$ .

Man kann den Graph von g aber auch durch eine Streckung in y-Richtung aus dem Graph von f erhalten. Wie groß ist dann dieser Streckfaktor?

Lösung einblenden

Da wir eine Streckung in y-Richtung suchen, müssen wir irgendwie $g(x) =$ $3^{x - 3}$ = $c \cdot 3^{x}$ schreiben können.

Und um $3^{x - 3}$ in ein Produkt zweier Faktoren zu zerlegen, können wir ein Potenzgesetzt anwenden:

$3^{x - 3}$ = $\frac{1}{3^{3}} \cdot 3^{x}$ = $\frac{1}{27} \cdot 3^{x}$

Somit ist der gesuchte Streckfaktor: a = $\frac{1}{27}$