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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, höchstens 32 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
42	0.8524
43	0.7852
44	0.7064
45	0.6198
46	0.5298
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{n} (X \leq 32)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{32}{0.7}$ ≈ 46 Versuchen auch ungefähr 32 (≈0.7⋅46) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=46:
$P_{0.7}^{n} (X \leq 32)$ ≈ 0.5298 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,4.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 28 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
73	0.3449
74	0.3114
75	0.2797
76	0.25
77	0.2224
78	0.1969
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{n} (X \geq 28)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.4}^{n} (X \geq 28)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.4}^{n} (X \geq 28)$ = 1 - $P_{0.4}^{n} (X \leq 27)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.4}^{n} (X \leq 27)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.4}^{n} (X \leq 27)$ oder $P_{0.4}^{n} (X \leq 27)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{28}{0.4}$ ≈ 70 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.4⋅70) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=70:
$P_{0.4}^{n} (X \leq 27)$ ≈ 0.4547 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=78 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 78 sein, damit $P_{0.4}^{n} (X \leq 27)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.4}^{n} (X \geq 28)$ ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,65.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, höchstens 34 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
52	0.575
53	0.4999
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.65}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 65% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{0.65}$ ≈ 52 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.65⋅52) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=52:
$P_{0.65}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.575 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=52 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

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Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

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