Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{3}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{10}{x^{4}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{3}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{10}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{3}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{10}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- 3 x$	=	$- x^{2} + 10$

- 3 x

=

- x^{2} + 10

|

+ x^{2}

- 10

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x - 2}{x + 5}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{8 x - 2}{x + 5}$	=	$x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{8 x - 2}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$x \cdot (x + 5)$
$8 x - 2$	=	$x (x + 5)$
$8 x - 2$	=	$x^{2} + 5 x$

8 x - 2

=

x^{2} + 5 x

|

- x^{2}

- 5 x

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3+1}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3-1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 6} + \frac{3 x + 1}{x - 1} + \frac{5 x}{- 3 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $1$ }

$\frac{3 x}{3 x + 6} + \frac{3 x + 1}{x - 1} + \frac{5 x}{- 3 x - 6}$	=	0
$\frac{3 x}{3 (x + 2)} + \frac{3 x + 1}{x - 1} + \frac{5 x}{- 3 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{3 x}{3 (x + 2)} + \frac{3 x + 1}{x - 1} + \frac{5 x}{- 3 (x + 2)}$	=	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{3 x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + \frac{3 x + 1}{x - 1} \cdot (3 (x + 2)) + \frac{5 x}{- 3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2))$	=
$3 x + 3 \frac{(3 x + 1) (x + 2)}{x - 1} - 5 x$	=
$3 x + 3 \frac{3 x^{2} + 7 x + 2}{x - 1} - 5 x$	=
$3 \frac{3 x^{2} + 7 x + 2}{x - 1} + 3 x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$3 \frac{3 x^{2} + 7 x + 2}{x - 1} + 3 x - 5 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$3 \frac{3 x^{2} + 7 x + 2}{x - 1} \cdot (x - 1) + 3 x \cdot (x - 1) - 5 x \cdot (x - 1)$	=
$9 x^{2} + 21 x + 6 + 3 x (x - 1) - 5 x (x - 1)$	=
$9 x^{2} + 21 x + 6 + (3 x^{2} - 3 x) + (- 5 x^{2} + 5 x)$	=
$7 x^{2} + 23 x + 6$	=

$7 x^{2} + 23 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 6}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 168}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{361}}{14}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{361}}{14}$ = $\frac{- 23+19}{14}$ = $\frac{- 4}{14}$ = $- \frac{2}{7}$ ≈ -0.29

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{361}}{14}$ = $\frac{- 23-19}{14}$ = $\frac{- 42}{14}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{2}{7}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{10}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{10}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{10}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{10}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$10$
$x^{2} + a x - 10$	=	0
$x^{2} + a x - 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 5)$ = -10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 5)$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter