$\text{f(x)}=$ $-5x^5-5x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-25x^4-15x^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{x^2}$

= $7x^{-2}$

=> f'(x) = $-14x^{-3}$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{14}{x^3}$

f'(1) = $-\frac{14}{1^3}$ = $-14\cdot 1$ = $-14$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{x^2}$

= $5x^{-2}$

=> f'(x) = $-10x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{10}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}\sqrt{x}$

= $-\frac{2}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{3}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}+t{x}^2$

= $x^{\frac{1}{2}}+t{x}^2$

=> f'(x)= $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}+2tx$

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{1}{2\cdot \sqrt{4}}+2t\cdot 4$
= $\frac{1}{2\cdot 2}+2t\cdot 4$
= $\frac{1}{4}+8t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{31}{4}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+\frac{3}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\frac{3}{2}$

f'(-2) = $-3\cdot {\left(-2\right)}^2+\frac{3}{2}$ = $-3\cdot 4+\frac{3}{2}$ = $-12+\frac{3}{2}$ = $-\frac{21}{2}$ ≈ -10.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-\frac{21}{2}$)) ≈ -84.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-16x-1$ ab:

f'(x) = $2x-16$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 80.54 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(80.54°) ≈ 6.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^3+\frac{3}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+\frac{3}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-9\cdot 0^2+\frac{3}{4}t$
= $\frac{3}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 6.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 8 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+3$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+3$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+1$ = $-3$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |81.9° - ( - 71.6 )°| ≈ 153.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 153.5° = 26.5° .