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COSH
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Hypothesen-Test linksseitig
Beispiel:
Eine Pharmafirma behauptet, dass durch eine Verbesserung der Rezeptur die Nebenwirkungen eines Medikaments unter p=0,9 gesunken ist. Um dies nachzuweisen, soll ein Test mit 77 Probanden so durchgeführt werden, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal 5% beträgt, dass der Test auf eine niedrigere Nebenwirkungshäufigkeit hinweist, obwohl dies in Wirklichkeit nicht der Fall ist. In welchem Intervall muss hierfür die Anzahl der Probanden mit Nebenwirkungen liegen? Wie hoch ist dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit?
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
59 | 0.0005 |
60 | 0.0014 |
61 | 0.0036 |
62 | 0.0087 |
63 | 0.0197 |
64 | 0.0414 |
65 | 0.0804 |
66 | 0.1442 |
67 | 0.2385 |
68 | 0.3633 |
... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.9 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.9 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(77,0.9,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 64 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.9 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.9 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0414 =4.14% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Ablehnungsbereich von H0: [0;64]
Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [65;77]
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;64], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [65;77], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Hypothesen-Test rechtseitig
Beispiel:
Durch einen Test soll statistisch belegt werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p> 0,15 ist. Dazu soll die Nullhypothese H0: p≤0,15 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=50 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 0,1% betragen.In welchem Bereich muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese statistisch begründet ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt, weil bei dem Zufallsexperiment ein Treffer in den Ablehnungsbereich fällt, obwohl die Nullhypothese richtig ist?
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
11 | 0.9372 |
12 | 0.9699 |
13 | 0.9868 |
14 | 0.9947 |
15 | 0.9981 |
16 | 0.9993 |
17 | 0.9998 |
18 | 0.9999 |
19 | 1 |
20 | 1 |
... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.15 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.15 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.
Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.001= 0.999 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(50,0.15,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 16 erstmals mindestens 99.9% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.
Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;16]
Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 17 Treffern beginnt.
Ablehnungsbereich von H0: [17;50]
Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.15 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.15 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0007 =0.07% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [17;50], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;16], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Hypothesen-Test rechtseitig
Beispiel:
In einem Multiple Choice Test ist bei jeder der 71 Aufgaben genau eine von fünf Lösungsmöglichkeiten richtig. In welchem Intervall muss die Anzahl der richtigen Antworten von Kevin liegen, damit er seiner Mutter (mit einer max. Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%) nachweisen kann, dass er auf den Test etwas gelernt und dadurch etwas gewusst hat und nicht jede Frage dem Zufall überließ? Gib die Irrtumswahrscheinlichkeit an!
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
15 | 0.6593 |
16 | 0.7575 |
17 | 0.8368 |
18 | 0.8964 |
19 | 0.9379 |
20 | 0.9648 |
21 | 0.9812 |
22 | 0.9905 |
23 | 0.9955 |
24 | 0.998 |
... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.2 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.2 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(71,0.2,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 20 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.
Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;20]
Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 21 Treffern beginnt.
Ablehnungsbereich von H0: [21;71]
Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.2 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.2 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0352 =3.52% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [21;71], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;20], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Fehler 2. Art
Beispiel:
Eine Pharmafirma behauptet, dass durch eine Verbesserung der Rezeptur die Nebenwirkungen eines Medikament unter p=0,1 gesunken ist. Um dies nachzuweisen, soll ein 85-stufiger Test mit einer maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% durchgeführt werden. a) In welchem Intervall muss hierfür die Anzahl der Nebenwirkungen liegen? b) In Wirklichkeit liegt die Wahrscheinlickeit für Nebenwirkungen bei p=0,07. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der Nebenwirkungen nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?
k | P(X≤k) |
---|---|
0 | 0.0001 |
1 | 0.0013 |
2 | 0.007 |
3 | 0.0245 |
4 | 0.0643 |
5 | 0.136 |
6 | 0.2422 |
7 | 0.3753 |
... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.1 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.1 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(85,0.1,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 3 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.1 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.1 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0245 =2.45% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Ablehnungsbereich von H0: [0;3]
Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [4;85]
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;3], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [4;85], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p=0.1 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.07 ist.
Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 4 bis 85, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.
Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.07) beträgt nun: =1- ≈ 1-0.1461 ≈ 0.8539
Mit 85.39% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.
zweiseitiger Test
Beispiel:
Durch einen Test soll statistisch untermauert werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p≠0,7 ist. Dazu soll die Nullhypothese H0: p=0,7 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=51 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 0,1% betragen. In welchen Bereichen muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p=0,7 statistisch untermauert ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
22 | 0.0001 |
23 | 0.0002 |
24 | 0.0005 |
25 | 0.0014 |
26 | 0.0033 |
... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 0.7 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.7 oder p>0.7 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.
Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.
Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 0.1% gerecht auf 0.05% auf der linken und 0.05% auf der rechten Seite.
Linke Seite:
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=51 und p=0.7), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 23 gerade noch weniger als 0.05% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
44 | 0.998 |
45 | 0.9994 |
46 | 0.9999 |
47 | 1 |
48 | 1 |
... | ... |
Rechte Seite:
Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 0.05% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.0005 = 0.9995 als Wahrscheinlichkeit haben muss.
In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=46 erstmals ≥ 0.9995 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 47 bis 51 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 0.05% hat.
Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 47 bis 51.
Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p=0.7 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠0.7 als statistisch abgesichert betrachten darf.
Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von
=
0.0002 auf der linken Seite und
= 1-0.9999
= 0.0001 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit
PIrr = 0.0002 + 0.0001 = 0.0003
=0.03% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Ablehnungsbereich von H0: [0;23] und [47;51]
Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [24;46]
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;23] oder [47;51], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [24;46], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)