Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≥ 0.9 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.9 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(77,0.9,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 64 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.9 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.9 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0414 =4.14% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;64]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [65;77]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [0;64], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [65;77], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≤ 0.15 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.15 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H₀ (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.001= 0.999 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(50,0.15,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 16 erstmals mindestens 99.9% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;16]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H₀ dass dieser erst bei 17 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H₀: [17;50]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.15 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.15 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0007 =0.07% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [17;50], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;16], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≤ 0.2 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.2 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H₀ (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(71,0.2,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 20 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;20]

Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H₀ dass dieser erst bei 21 Treffern beginnt.

Ablehnungsbereich von H₀: [21;71]

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.2 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.2 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0352 =3.52% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [21;71], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [0;20], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p ≥ 0.1 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.1 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(85,0.1,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 3 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H₀: p=0.1 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.1 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0245 =2.45% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;3]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [4;85]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H₀: [0;3], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [4;85], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.

Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H₀: p = 0.7 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.7 oder p>0.7 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.

Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H₀ auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.

Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 0.1% gerecht auf 0.05% auf der linken und 0.05% auf der rechten Seite.

Linke Seite:

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=51 und p=0.7), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 23 gerade noch weniger als 0.05% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs

Rechte Seite:

Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 0.05% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.0005 = 0.9995 als Wahrscheinlichkeit haben muss.

In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=46 erstmals $P_{0.7}^{51}(X\le \mathrm{k})$ ≥ 0.9995 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 47 bis 51 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 0.05% hat.

Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 47 bis 51.

Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H₀: p=0.7 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠0.7 als statistisch abgesichert betrachten darf.

Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von $P_{0.7}^{51}(X\le 23)$ = 0.0002 auf der linken Seite und $P_{0.7}^{51}(X\ge 47)$ = 1-0.9999 = 0.0001 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit P_Irr = 0.0002 + 0.0001 = 0.0003 =0.03% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)

Ablehnungsbereich von H₀: [0;23] und [47;51]

Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [24;46]

Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H₀: [0;23] oder [47;51], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H₀: [24;46], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.