- Klasse 5-6
- Klasse 7-8
- Klasse 9-10
- Kursstufe
- COSH
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
nach x Minuten
Beispiel:
Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?
Wo ist die Rakete nach 7s?
Wie weit ist die Rakete dann geflogen?
Berechne den Winkel mit dem die Rakete steigt?
Wann hat die Rakete die Höhe von 4200m erreicht?
Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Dieser Vektor hat die Länge =.
Die Geschwindigkeit ist also
v=550
= 1980
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im
Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A nach P bewegt, also um den Vektor =. Dessen Länge ist (in m).
Den Steigungswinkel kann man einfach als Schnittwinkel der Geraden mit der (horizontalen) x1-x2-Ebene berechnen.
Die x1-x2-Ebene hat die Gleichung x3=0 und den
Normalenvektor =.
Daraus ergibt sich für den Steigungswinkel :
sin()= =
In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x3-Koordinate).
Um von 200 auf 4200m (also 4000m) zu steigen (bzw. fallen),
muss es also
Bewegungsaufgabe mit geg. Geschwindigkeit
Beispiel:
Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wann kommt sie im Punkt B an?
Wann hat die Rakete die (absolute) Höhe von 800m erreicht? In welchem Punkt befindet es sich dann?
Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in
Die Länge des Vektors
Bei einer Geschwindigkeit von 300
Punkt B wird als nach 1s erreicht.
In einer s wird also der Vektor
In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x3-Koordinate).
Um von 100 auf 800m (also 700m) zu steigen (bzw. fallen),
muss es also
Also im Punkt P
Höhe nach x Kilometern
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 5,88 km zurückgelegt hat?
Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
Die Geradengleichung
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =
Die Geschwindigkeit ist also v=42
Für die Strecke von 5.88 km braucht es also
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 1680 (in m).
Zwei Objekte - gleiche Höhe
Beispiel:
Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wann sind die Drohne und die Seilbahngondel auf gleicher Höhe?
Wie weit ist Drohne von der Seilbahngondel entfernt, wenn sie genau senkrecht über der Seilbahn ist?
Berechne zu diesem Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist, den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.
Die Seilbahngondel F2 legt in 3s den Vektor
In 1s legt es also den Vektor
Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
nach 7 s sind also die Drohne F1 und die Seilbahngondel F2 auf gleicher
Höhe:
Die Drohne F1 ist genau dann unter/über der Flugbahn von F2, wenn die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen übereinstimmen. Da aber höchstwahrscheinlich die Seilbahngondel F2 zu einem anderen Zeitpunkt genau unter oder über der Flugbahn von F1 ist, müssen wir verschiedene Parameter in die beiden Geradengleichungen einsetzen.
langsame Rechnung einblenden
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass die Drohne F1 nach 9s und die Seilbahngondel F2 nach 6s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
die Drohne F1 ist also nach 9s bei
d=|
Der Abstand der beiden Objekte nach 9s ist also
Auch den scheinbaren Schnittpunkt, den der genau darunter stehende Beobachter sieht, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.
langsame Rechnung einblenden
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass die Drohne F1 nach 9s und die Seilbahngondel F2 nach 6s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
die Drohne F1 ist also nach 9s bei
Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von
3.4 - 2.4 = 1 m
Zwei Objekte Aufgabe - Abstände
Beispiel:
Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 3s von einander entfernt?
Berechne den kleinsten Abstand, den die Drohne von der Seilbahn haben kann.
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die Drohne und die Gondel der Seilbahn am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?
Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor
In 1s legt es also den Vektor
Die Drohne ist nach 3s an der Stelle P1
d=|
Der Abstand ist also ca. 46.57 m.
Um den kleinsten Abstand der beiden Bewegungsbahnen zu erhalten müssen wir die klassische Rechnung zur Bestimmung des Abstands zweier windschieder Geraden durchführen:
Zuerst bilden wir eine Ebene, welche die Gerade h:
Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Normalenvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.
Wenn wir den Aufpunkt von h Ah
Nun können wir den Abstand zwischen der Geraden g:
Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.
Alternativer (kürzerer) Lösungsweg mit Formel einblenden
Der Abstand der beiden Bewegungsbahnen beträgt somit 12 m
Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.
Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen
d(t)=
d(t)=
=
=
da
mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t=
Wegen
der minimale Abstand ist also d(
Bewegungsaufgabe mit geg. Geschwindigkeit
Beispiel:
Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?
Wann hat sie die (absolute) Höhe von 632m erreicht?
In welchem Punkt befindet die sich dann?
Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in
Die Länge des Vektors
Bei einer Geschwindigkeit von 11
Punkt B wird als nach 1s erreicht.
In einer s wird also der Vektor
In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um -2m (Änderung in der x3-Koordinate).
Um von 654 auf 632m (also -22m) zu steigen (bzw. fallen),
muss es also
Also im Punkt P
Zwei Objekte Aufgabe - Abstände (ohne windschief)
Beispiel:
Flugzeug Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 3min von einander entfernt?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die beiden Flugzeuge am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?
Das Bewegungsobjekt legt in 5min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
F1 ist nach 3min an der Stelle P1
d=|
Der Abstand ist also ca. 81.03 km.
Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.
Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen
d(t)=
d(t)=
=
=
da
mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t=
Wegen
der minimale Abstand ist also d(
Nicht lineare Bewegung
Beispiel:
Ein Speerwerfer wirft einen Speer auf einer Fläche, die durch die x1x2-Ebene beschrieben wird. Die Flugbahn des Speers kann mithilfe der Punkte Xt(
Berechne die Weite, die für den Speerwurf gemessen wird.
Zuerst berechnen den t-Wert, an dem der Speer auf die x1x2-Ebene trifft, also wenn x3= 0 ist:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Das heißt also, dass der Speer nach 1,3 s in der x1x2-Ebene angekommen ist. Wenn wir t = 1,3 in den Punkt
Xt einsetzen, erhalten wir L(
Da ja der Speer im Punkt X0
Vektors
d =